FKMO 2024 후기 (우수상)

Before Test

겨울방학부터 영재고 준비 때문에 평일에는 공부를 할 시간이 거의 없었다. 대신 주말에 3문제씩 뽑아서 3시간 동안 문제를 푸는 연습을 했다. 이게 큰 도움이 되었던 것 같다.

 

Timeline

Day 1 - Saturday, March 23, 2024 (14:00 ~ 18:30)

~0:00 시험지와 답안지를 받았다. 늘 하던 대로 답안지에 인적사항 등을 적고 시험지를 뒤집어 대기했다. '제발 4솔하자'라는 생각으로 가득 차 있었다 ㅋㅋ

 

0:00 ~ 0:20 2시가 되자, 시험지를 뒤집어서 문제를 쭉 읽었다. 기하는 하나도 없었고, 1번은 쉬운 정수, 2번은 전형적인 조합, 3번은 시간 안에 풀기 굉장히 어려울 것 같았다. 2번을 조금 고민하다가 답이 $n$일 것 같다는 생각을 하고, 1번을 풀기 시작했다.

 

0:20 ~ 1:00 여러 가지 방법을 시도해보았다. 딱히 성과가 없길래 $c = d = 1$을 대입해서 중요한 관찰을 찾으려고 했다.

 

1:00 ~ 2:00 슬슬 말리고 있다는 생각이 들었다. 2번으로 넘어가 풀어보려 했지만 진척은 없었다.

 

2:00 ~ 2:15 3번을 고민했다. 답이 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$임을 금방 찾아냈다. 

2:15 ~ 3:00 (1) 1번을 풀었다. 풀이는 정말 간단하지만, 말리기 쉬운 문제인 것 같았다.

$n\equiv \alpha \pmod a$, $n\equiv \beta \pmod b$, $n\equiv \gamma \pmod c$, $n\equiv \delta \pmod d$ 라고 하면

$$abcd\cdot f(n) = abcd\left( \frac{n - \alpha}{a} +  \frac{n - \beta}{b}  +  \frac{n - \gamma}{c}  +  \frac{n - \delta}{d}  \right)$$

$$\equiv \alpha + \beta + \gamma + \delta \pmod 2$$

이므로 $2 \mid f(n)$일 필요충분조건은 $2 \mid \alpha + \beta + \gamma + \delta$이다. 이러한 순서쌍 $(\alpha, \beta, \gamma, \delta)$는 $\frac{abcd+1}{2}$개이다. Chinese Remainder Theorem에 의해 $n$은 유일하므로 증명이 끝이 난다.

 

3:00 ~ 4:30 남은 모든 시간을 2번에 투자했다. 아쉽게도, 풀지 못했고 첫째날은 1솔로 마무리 했다. ㅠㅠ

 

Day 2 - Sunday, March 24, 2024 (09:00 ~ 13:30)

~0:00 기하를 꽤 잘하고 자신이 있기 때문에, 5번에 나오길 빌었.. 지만

 

0:00 ~ 0:05 4번이 기하, 5번이 대수, 6번이 정수였다. 6번과 같은 Asymptotic NT 문제를 풀어본 적이 많이 없었기 때문에 쉽진 않을 거라는 생각을 했다.

 

0:05 ~ 0:20 (4) 4번을 풀었다. Harmonic pencil + Pole & Polar로 쉽게 풀었다.

영어로 된 내 풀이는 여기서 볼 수 있다.

 

0:20 ~ 0:30 5번을 풀기 시작했다. 다음 문제가 생각했다.

$n$이 짝수이고 $\{a_1, a_2, \dots, a_n\} = \{1, 2, \dots, n\}$일 때, $\displaystyle \sum_{i = 1}^{n}|a_i - a_{i+1}|$의 최댓값을 구하여라.
답: $\displaystyle \frac{n^2}{2}$

 

원래 문제로 돌아가서, $n$이 짝수이면 최댓값이 $n^2$임을 쉽게 알 수 있다. 이제 $n$이 홀수일 때만 풀면 된다.

 

0:30 ~ 1:30 (5)  귀찮은 계산을 조금 하니까 문제가 풀렸다. 영어로 된 내 풀이는 여기서 볼 수 있다. 참신한 아이디어가 딱히 없는 재미없는 문제였다.

 

1:30 ~ 2:00 굉장히 좋은 흐름이었다. 기분 좋게 화장실을 다녀와서 6번을 풀기 시작했다.

 

2:00 ~ 4:30 여러 시도를 했지만 끝내 풀지 못하고 시험이 종료되었다. 아직 시험장에서 3, 6번 난이도를 풀 실력은 아닌 것 같다.

 

After Test

총 3문제를 풀었다. KMO를 칠 때마다 느끼는 건데, 쉬운 문제를 안정적으로 푸는 것이 중요한 것 같다. Day 1에서 1번을 빨리 풀었다면 2번도 풀었을 텐데 (2번이 1번보다 쉬웠다는 사람도 꽤 있었다)

 

결과 발표 - 2024.04.09

 

운 좋게 우수상을 받았다. 푼 3문제를 완벽하게 서술하고 나머지 문제에서 점수를 좀 따서 우수상을 받을 수 있었던 것 같다. 교육대상자로도 선발되었다. 덕분에 "제38회 KMO 고등부 2차시험 응시 자격"이 주어져서 (메일로 왔다) 1차 시험을 보지 않아도 된다. 

 

다만, 작년에 친 KMO 2차에서 동상을 받아 최종후보로 선발되지 못해서 아쉬웠다. 올해 2차에서 금상을 받고 내년 FKMO에서 우수상을 받아 최종후보가 되는 것이 현재 목표다.

 

Let pokmui go IMO 2025!